Mo***380;na to zrobi***263; tak jak zrobili***347;cie i jest jeszcze jeden spos***243;b:

Prosta jest r***243;wnoleg***322;a, wi***281;c y = 3x + b co jest jasne.

Skoro jeden pkt. wsp***243;lny to ma by***263; styczna.

Liczymy pochodn***261; y = 2x^2 -> y' = 4x

Wsp***243;***322;czynnik kierunkowy stycznej = pochodna w pkt. -> 3 = 4x1 -> x1 = 3/4 -> to jest x1 punktu przeci***281;cia.

Liczymy y1 = 2x1^2 = 2 * (3/4)^2 = 9/8

Wi***281;c mamy po podstawieniu do naszej prostej:

y1 = 3x1 + b
9/8 = 3 * 3/4 + b
b = 9/8 - 9/4 = -9/8

Prosta: y = 3x -9/8

Tada ...

b)

Liczmy poch.
y' = -x

Styczna ma posta***263; y = ax + b, wiemy ze b = 2 (2 = a*0 + b -> b = 2).
Wi***281;c styczna ma posta***263; y = ax + 2

Wsp***243;***322;czynnik kierunkowy to poch. w pkt. wi***281;c a = -x1 (bo y' = -x) gdzie x1 to wsp. punktu przeci***281;cia.

y = -x1*x + 2

Mamy wi***281;c uk***322;ad dla punktu przeci***281;cia:

y1=-(1/2)x1^2
y1 = -x1^2 + 2

-(1/2)x1^2 = -x1^2 + 2
(1/2)x1^2 = 2
x1 = 2 v x1 = -2

Proste styczne:
y = 2x + 2
y = -2x + 2

No, prosz***281;... A jednak czaszka jeszcze pracuje.... ;)

No, na lekcji rozwiązaliśmy te zadanie i tak to powinno wyglądać:
a)
http://img528.imageshack.us/img528/7849/rozwabb9.gif

Tej pochodnej jeste***347; pewien? ;) Bo tych r***243;wna***324; za bardzo si***281; nie da... x=k ?

W ka***380;dym razie (inn***261; metod***261;) odp dla a/ wysz***322;a mi y=3x - 9/8

Dokładnie prosta bedzie miała postac y=3x+k, a wzór na styczną do paraboli to jej pochodna czyli dla y=2x^2 ma postaci y=4x rozwiązujemy układ trzech równan z trzema niewiadomymi i mamy odpowiedz.
równania to
y=3x+k
y=4x
y=2x^2

chyba ze jestem w błędzie, mnie ktos poprawi?

Je***347;li ma by***263; r***243;wnoleg***322;a, to wz***243;r b***281;dzie mia***322; posta***263; y=3x+ k. Je***347;li ma mie***263; 1 pkt wsp***243;lny z parabol***261;, to szukasz stycznej do paraboli (jest wzr***243;r definiuj***261;cy styczn***261;). I mo***380;na ju***380; wyznaczy***263; wsp***243;***322;czynnik k.

Drugie podobnie, tylko szukasz wsp***243;***322;czynnika k prostej y=kx + 2. I chyba s***261; dwie takie proste dla k i -k.

Je***380;u, ju***380; prawie nic nie pami***281;tam z tej matmy... Kt***243;ra to klasa?

Mam pewien problem z 2 ***322;atwymi zadaniami:
a) Jaki wz***243;r ma funkcja liniowa, kt***243;rej wykres jest r***243;wnoleg***322;y do wykresu funkcji y=3x+5 i ma z parabol***261; y=2x^2 jeden punkt wsp***243;lny.
b) Jaki wz***243;r ma funkcja liniowa, kt***243;rej wykres przecina o***347; y w punkcie (0,2) i ma z parabol***261; y=-(1/2)x^2 jeden punkt wsp***243;lnu.

Jako***347; nie mog***281; wykmini***263; jak to zrobi***263;. Prosz***281; ***380;eby mnie naprowadzi***263; ale nie pokazywa***263; ca***322;ego sposobu rozwi***261;zania :D.

Pii,Piiii,piiiiii.
Co tak piiiiiiiiii?:haha:
Na cholerę Ci to Piiiiiiiiiiiiiiiiiii:spoko:

7/9*Pi mi***281;dzy godzinn***261; i minutow***261; ,
1/9*Pi mi***281;dzy godzinn***261; i sekundow***261;,
2/3*Pi mi***281;dzy sekundow***261; i minutow***261; :P

140 stopni:P

Edit: Cholera, zn***243;w byli szybsi ode mnie:>:spoko:

To***347; wpod***322;

Taka też była moja odpowiedź :P

140st ;)

jak juz mamy jakis temat z zadaniem z matematyki to mam pytanie: Jaka jest miara k***261;ta tworzonego przez wskaz***243;wki zegara o 11:20. Pod uwag***281; trzeba wzi***261;***263; to ***380;e o 11:20 wskaz***243;wka godzinowa nie znajduje si***281; r***243;wno na 11 tylko pomi***281;dzy 11 a 12. Dzisiaj na sprawdzianie mia***322;em takie zadanie i jestem ciekawy rozwi***261;zania.

Trudno powiedzie***263;. Ale mo***380;liwe ***380;e tak. Przyk***322;ady w matematyce sporo u***322;atwiaj***261; rozumienie. Z reszt***261; to jego problem ...

I uwa***380;asz, ***380;e jest to s***322;uszny kierunek?

|x-2| <= 3

Witam!! mam problem z zadaniem :Zapisz za pomoca nierównosci z wartoscia bezwzgledna warunek x nalezy <-1,5>

Gimnazjum... oni chyba zaczynaj***261;, a my tu... he he :mruga:

Co to za zadanie, kt***243;rego nie trzeba liczy***263; ;)

O kapitalizacji nie ma mowy w zadaniu, tak***380;e mo***380;na zrobi***263; z prostymi odsetkami.

To zale***380;y czy mamy kapitalizacj***281; odsetek czy nie (ten drugi przypadek jest b. rzadki). Poza tym, my***347;l***281;, ***380;e @Banana nie "komplikowa***322;by" sprawy w ten spos***243;b, gdyby chodzi***322;o o proste dodanie odsetek.

Nie wiem czy w tym przypadku wz***243;r powinien wygl***261;da***263; tak:

FV = (1 + n*r)PV

FV - przysz***322;a warto***347;***263;
PV - obecna warto***347;***263;
n - ilo***347;***263; okres***243;w
r - stopa %

W***243;wczas:

2x = (1+n*0,2)x
co po wyliczeniu sprowadza si***281; do:

n = 5

:mruga:

Podstawiając n i sprawdzając wyniki (symulacja). Ja bym to ułatwił sobie i sprowadził to do nierówności [2*10^n<=12^n]. Jeżeli chcieć za pomocą logarytmu to też problem jeśli nie mamy kalkulatora, chociaż formalny zapis już poprawny.

... nie sprawdzajac kazdej wartosci po kolei, lub na wyrywki. Bo tak mozna rozwiazac kazde zadanie oparte na liczbach calkowitych, ktore ma skonczona liczbe rozwiazan i wszystkie rozwiazania ograniczone, w momencie kiedy jestesmy w stanie stwierdzic ze doszlismy do tego ograniczenia.

MQs - to mamy - 4 lata, ale powiedz, jak mo***380;e to gimnazjalista bez logarytmu zrobi***263;... :mruga:

Przede wszystkim,"n" jest liczb***261; naturaln***261; (liczba lat przy rocznej kapitalizacji odsetek). Chodzi zatem o znalezienie najmniejszej liczby naturalnej spe***322;niaj***261;cej nier***243;wno***347;***263;. B***281;dzie ona tak***261;, gdy mniejsza od niej (n-1) jej nie spe***322;nia - tyle. Czy zrobimy to na wykresie, czy na liczbach nie ma r***243;***380;nicy.

Chodziło mi o to, że jeśli nie stosujesz w ogóle rozwiązania graficznego i nie znasz logarytmów to aby znaleźć punkt gdzie 2=(6/5)^n musisz po kolei podstawiać bardzo różne wartości do równania, aby znaleźć konkretną liczbę. Zakładając nawet, że wiesz już powiedzmy, iż to przedział między 3 i 4 to podstawisz 3,9 , 3,8 , itd. Nie dość, że to totalna partyzantka i w tym przypadku bez kalkulatora już nie da rady, to i tak skończy się tylko na wartości przybliżonej, ponieważ trzeba by znaleźć liczbę 3,80178401692393, która odpowiada log(6/5)(2).

Myślę, iż należy po prostu użyć logarytmu i przestać się męczyć, nauczyciel na pewno to doceni.

Czyli tak jak napisał Kris n= log(6/5)(2).

pozdrawiam

Mo***380;e tu chodzi o rozwi***261;zanie:

(6/5)^x = (6/5)^n
lub
2^x = 2^c

gdzie c = n przekszta***322;cone

w***243;wczas x=c lub x=n

gdzie x = liczba, kt***243;rej szukamy... mo***380;e oni maj***261; w tym gimnazjum jakie***347; proste sposoby na to ***380;eby przekszta***322;ci***263; 2 na 6/5 lub odwrotnie i opu***347;ci***263; te liczby... ;) he he

To roznie bywa. To co sie uznaje za "wiemy", czasem zeby uzyskac PELNA wartosc punktowa trzeba udowodnic. W koncu to "wiemy" nie wzielo sie z sufitu :)
ALE
Na poziomie gimnazjum taki dopisek bylby wystarczajacy, jednak jest on konieczny do pelnosci rozwiazania.

Nie rozumiem czym rozni sie rozni liczenie pktow do wykresu, od liczenia pktow do sprawdzania.
Jezeli masz obliczone 4 pkty: 0, 1, 2, 3 to tak samo nie mozesz nic powiedziec w jednym jak i w drugim przypadku. I jestes tak samo blisko/daleko od rozwiazania.

Przeciez gdybysmy zajeli sie przypadkiem ciekawszym:

62 <= (6/5)^n

to wykres oprarty na kilku poczatkowych pktach nic Ci nie da. Tym bardziej wez poprawke na to ze wykresu nie rysuje sie za pomoca indukcji - "na poczatku wyglada tak, to dalej bedzie wygladal podobnie" - a juz napewno nie mozna przedstawiac tego jako oficjalne rozwiazanie. Tak czy inaczej musisz strzelac wartosci "z okolicy" - ja bym szukal kolo 20. A czy towarzyszy temu rysunek czy nie - to bez znaczenia.

ZGADZA SIE - kluczowa rzecza jest oszacowanie tego logarytmu. W szczegolnosci wystarczy miedzy jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje sie jego wynik.

Ale skoro w gimnazjum nie ma wogole logarytmow, to tym bardziej nie ma sposobow obliczania nietrywialnych logarytmow.

Bananowi nie chodzi o nier***243;wno***347;***263;...

Banana, napisz takie rozwi***261;zanie. I tyle. Niech Ci nauczyciel wyja***347;ni jak to rozwi***261;za***263;. Ma taki obowi***261;zek.

No ale przecież wiemy z własności funkcji wykładniczej, że y=a^x to funkcja monotoniczna (rosnąca) w całym zbiorze liczb rzeczywistych, gdy a>1, więc nie ma po co to ponownie udowadniać.

Nie za bardzo, bo tutaj liczysz tylko punkty do wykresu (które nawet bez kalkulatora łatwo znaleźć), które pozwalają znaleźć graficzne rozwiązanie dla 2=(6/5)^n (punkt r), pomyśl ile byś się namęczył stosując metodę podstawiania ...


pozdrawiam

To jest dokladnie to samo. Popatrz na rysunek co musiales robic:

Policzyles dla 0, 1, 2, 3, 4 -> znalazles moment w ktorym spelnia.

I teraz MUSISZ udowodnic ze dalej jest dobrze. Argument "bo dalej wykres idzie do gory" nie jest akceptowalny. Powod jest prosty: a skad to wiadomo ?? Z wykresu NIE WOLNO wyciagac wniosku ze dalej "idzie ladnie", bo wykres moze isc DOWOLNIE. Wiec musisz zobaczyc na samo to wyrazenie. Ale sprawdzanie kolejnych liczb dalej tu niczego nie dowodzi - nie dowodzi ze gdzies daleko dla n > 999999 nie bedzie np. liczby 36/25. W tym momencie musi pojsc dowod ze ta funkcja/ciag jest ROSNACY (czy jak ktos woli slabiej - niemalejacy).

Natomiast rozwiazanie "zgadywanie" polega na:

Policzeniu dla 0, 1, 2, 3, 4 -> znalezieniu momentu w ktorym spelnia.

Udowodnienia ze dalej jest dobrze -> funkcja/ciag jest ROSNACY.

Dla mnie jakosc rozwiazania jest ta sama.

Natomiast zastanowilem sie i ... Zeby zrobic lepiej musisz porzadnie oszacowac logartm. Po pierwsze w gimnazjum nie wiesz co to jest logarytm. Po drugie zeby taki logarytm oszacowac MATEMATYCZNIE (nie strzelajac, czy sprawdzajac kolejne wartosci) musisz uzyc rozwiniecia/szeregu Taylora (ew. jakiejs innej skomplikowanej procedury ktorej nie znam). A tego nie wiesz nawet w liceum.

Rzeczywiście pomyliłem znaki w równaniu :glupek: , n musi być w przedziale {r ; nieskończoność) aby równanie 2<=(6/5)^n było prawdziwe. W sprawie kreskowania również masz rację.

Co do jakości rozwiązania to się nie zgodzę. Wystarczy narysować powiedzmy 3, 4 punkty do wykresu i go narysować, znaleźć przecięcie osi y i n z wykresem i już masz rozwiązanie. Gdybyś chciał się wstrzelić w wartość to zajęło by to dużo więcej czasu jeśli w ogóle by się udało :).

Pozdrawiam


Szybki rysunek z rozwiązaniem :

Ale to sie sprowadza do rozwiazania "liczenie recznie kolejnych wartosci". Wiec to samo co zrobilby sprawdzajac kolejne wartosci na kartce.

(To samo w sensie jakosci rozwiazania).

PS. Poza tym z formalnego pktu widzenia na rysunku masz zacimniona czesc plaszczyzny, co sugerowaloby ze rozwiazaniem jest para liczb (element rozwiazania dwuwymiarowy). Niezgodnosc typow - my szukamy pojedynczej liczby - elementow jednowymiarowych (gdybym byl nauczycielem to bym pocial za to pkty :) ). Poza tym zaciemniles zla czesc - kolejny pkty ||
(twierdze ze dla n -> oo , (6/5)^n -> oo , wiec jest wieksze od dowolnej stalej, w szczegolnosci 2, wiec spelnia rownanie, a nie jest w podanym zbiorze rozwiazan).

Do gimnazjalisty - powiedz ze na poziomie gimazjum nie istnieje matematyczne rozwiazanie tego problemu. Jedynym sensowym wyjsciem jest liczenie dla kolejnych liczb (to jest bardziej problem dla informatyki niz matematyki), znalezienie momentu w ktorym rownanie sie spelnia i udowodnienie ze dalej jest dobrze (funkcja rosnaca, czy ciag rosnacy jezeli n jest np. calkowite - jak wolisz).

hehe, mysla***322;em ***380;e problem z nier***243;wnosci***261; spo***322;eczn***261;.

zawsze można pokazać rozwiązanie na wykresie (naturalnie wystarczy znaleźć tylko kilka punktów)

w tym przypadku rysujemy funkcję y = (6/5)^n i zaznaczamy na osi n punkt przecięcia z wykresem dla wartości 2 na osi y

czyli dla prawdziwości równania 2 <= (6/5)^n, n musi być w przedziale od (***8211; nieskończoności ; r}

http://img390.imageshack.us/img390/5...kreszf1.th.gif

pozdrawiam

Czyli tak czy siak pozostaje - oszacowywanie/zgadywanie recznie wartosci n w wypadku ograniczonej wiedzy.
No chyba ze ktos madrzej ulozy nierownosc do zadania:
"Po jakim czasie wklad powiekszy sie dwukrotnie, jezeli oprocentowanie wynosi 20% rocznie?"
x-kapital
n-okresy kapitalizacji (lata)

2x =< (1,2)^n * x
2 =< (1,2)^n

Nie mylisz sie..

Moze sie myle, bo za moich czasow gimnazjow jeszcze nie bylo, ale chyba w gimnazjum nie ma logarytmow...

to jest rownoznaczne z:

log(6/5)(2) <= n

i teraz tak czy inaczej trzeba zgadnac (oszacowac) log(6/5)(2).

Chyba 'n' moze byc rowne conajmniej 4, ale nie wiem jak to 'udowodnic'..

Czesto mam taki problem w matematyce, ze znam rozwiazanie, a nie wiem jak zapisac :-(.

Wybacz.

Niedziela jest ;)
A Ty mi o szkole przypominasz :P

Problem z nierownoscia
 

Mam taka oto nierownosc:
http://img465.imageshack.us/img465/8770/mataj1.gif
Czy da sie ja rozwiaz w sposob zrozumialy dla gimnazjalisty?
Czy pozostaje "reczne" sprawdzenie po ktorej potedze bedzie prawidlowy wynik?