Problem z nierownoscia

[Banana Coctail]

Mam taka oto nierownosc:

Czy da sie ja rozwiaz w sposob zrozumialy dla gimnazjalisty?
Czy pozostaje "reczne" sprawdzenie po ktorej potedze bedzie prawidlowy wynik?

[Mich@ł]

Niedziela jest
A Ty mi o szkole przypominasz

[Banana Coctail]

Wybacz.

[Smartek]

Chyba 'n' moze byc rowne conajmniej 4, ale nie wiem jak to 'udowodnic'..

Czesto mam taki problem w matematyce, ze znam rozwiazanie, a nie wiem jak zapisac :-(.

[pawelblu]

to jest rownoznaczne z:

log(6/5)(2) <= n

i teraz tak czy inaczej trzeba zgadnac (oszacowac) log(6/5)(2).

[M@X]

Napisany przez Banana Coctail

Czy da sie ja rozwiaz w sposob zrozumialy dla gimnazjalisty?

Napisany przez pawelblu

to jest rownoznaczne z:

log(6/5)(2) <= n

i teraz tak czy inaczej trzeba zgadnac (oszacowac) log(6/5)(2).

Moze sie myle, bo za moich czasow gimnazjow jeszcze nie bylo, ale chyba w gimnazjum nie ma logarytmow...

[Smartek]

Napisany przez M@X

Moze sie myle, bo za moich czasow gimnazjow jeszcze nie bylo, ale chyba w gimnazjum nie ma logarytmow...

Nie mylisz sie..

[Banana Coctail]

Czyli tak czy siak pozostaje - oszacowywanie/zgadywanie recznie wartosci n w wypadku ograniczonej wiedzy.
No chyba ze ktos madrzej ulozy nierownosc do zadania:
"Po jakim czasie wklad powiekszy sie dwukrotnie, jezeli oprocentowanie wynosi 20% rocznie?"
x-kapital
n-okresy kapitalizacji (lata)

2x =< (1,2)^n * x
2 =< (1,2)^n

[Arepo]

Napisany przez Banana Coctail

Czyli tak czy siak pozostaje - oszacowywanie/zgadywanie recznie wartosci n w wypadku ograniczonej wiedzy.

zawsze można pokazać rozwiązanie na wykresie (naturalnie wystarczy znaleźć tylko kilka punktów)

w tym przypadku rysujemy funkcję y = (6/5)^n i zaznaczamy na osi n punkt przecięcia z wykresem dla wartości 2 na osi y

czyli dla prawdziwości równania 2 <= (6/5)^n, n musi być w przedziale od (***8211; nieskończoności ; r}



pozdrawiam

[pawelblu]

Napisany przez Arepo

zawsze można pokazać rozwiązanie na wykresie (naturalnie wystarczy znaleźć tylko kilka punktów)

Ale to sie sprowadza do rozwiazania "liczenie recznie kolejnych wartosci". Wiec to samo co zrobilby sprawdzajac kolejne wartosci na kartce.

(To samo w sensie jakosci rozwiazania).

PS. Poza tym z formalnego pktu widzenia na rysunku masz zacimniona czesc plaszczyzny, co sugerowaloby ze rozwiazaniem jest para liczb (element rozwiazania dwuwymiarowy). Niezgodnosc typow - my szukamy pojedynczej liczby - elementow jednowymiarowych (gdybym byl nauczycielem to bym pocial za to pkty ). Poza tym zaciemniles zla czesc - kolejny pkty
(twierdze ze dla n -> oo , (6/5)^n -> oo , wiec jest wieksze od dowolnej stalej, w szczegolnosci 2, wiec spelnia rownanie, a nie jest w podanym zbiorze rozwiazan).

Do gimnazjalisty - powiedz ze na poziomie gimazjum nie istnieje matematyczne rozwiazanie tego problemu. Jedynym sensowym wyjsciem jest liczenie dla kolejnych liczb (to jest bardziej problem dla informatyki niz matematyki), znalezienie momentu w ktorym rownanie sie spelnia i udowodnienie ze dalej jest dobrze (funkcja rosnaca, czy ciag rosnacy jezeli n jest np. calkowite - jak wolisz).

[Arepo]

Rzeczywiście pomyliłem znaki w równaniu , n musi być w przedziale {r ; nieskończoność) aby równanie 2<=(6/5)^n było prawdziwe. W sprawie kreskowania również masz rację.

Co do jakości rozwiązania to się nie zgodzę. Wystarczy narysować powiedzmy 3, 4 punkty do wykresu i go narysować, znaleźć przecięcie osi y i n z wykresem i już masz rozwiązanie. Gdybyś chciał się wstrzelić w wartość to zajęło by to dużo więcej czasu jeśli w ogóle by się udało .

Pozdrawiam


Szybki rysunek z rozwiązaniem :

[Kris]

Napisany przez Banana Coctail

Czyli tak czy siak pozostaje - oszacowywanie/zgadywanie recznie wartosci n w wypadku ograniczonej wiedzy.
No chyba ze ktos madrzej ulozy nierownosc do zadania:
"Po jakim czasie wklad powiekszy sie dwukrotnie, jezeli oprocentowanie wynosi 20% rocznie?"
x-kapital
n-okresy kapitalizacji (lata)

2x =< (1,2)^n * x
2 =< (1,2)^n

Nie wiem czy w tym przypadku wz***243;r powinien wygl***261;da***263; tak:

FV = (1 + n*r)PV

FV - przysz***322;a warto***347;***263;
PV - obecna warto***347;***263;
n - ilo***347;***263; okres***243;w
r - stopa %

W***243;wczas:

2x = (1+n*0,2)x
co po wyliczeniu sprowadza si***281; do:

n = 5

[MQs]

hehe, mysla***322;em ***380;e problem z nier***243;wnosci***261; spo***322;eczn***261;.

[pawelblu]

To jest dokladnie to samo. Popatrz na rysunek co musiales robic:

Policzyles dla 0, 1, 2, 3, 4 -> znalazles moment w ktorym spelnia.

I teraz MUSISZ udowodnic ze dalej jest dobrze. Argument "bo dalej wykres idzie do gory" nie jest akceptowalny. Powod jest prosty: a skad to wiadomo ?? Z wykresu NIE WOLNO wyciagac wniosku ze dalej "idzie ladnie", bo wykres moze isc DOWOLNIE. Wiec musisz zobaczyc na samo to wyrazenie. Ale sprawdzanie kolejnych liczb dalej tu niczego nie dowodzi - nie dowodzi ze gdzies daleko dla n > 999999 nie bedzie np. liczby 36/25. W tym momencie musi pojsc dowod ze ta funkcja/ciag jest ROSNACY (czy jak ktos woli slabiej - niemalejacy).

Natomiast rozwiazanie "zgadywanie" polega na:

Policzeniu dla 0, 1, 2, 3, 4 -> znalezieniu momentu w ktorym spelnia.

Udowodnienia ze dalej jest dobrze -> funkcja/ciag jest ROSNACY.

Dla mnie jakosc rozwiazania jest ta sama.

Natomiast zastanowilem sie i ... Zeby zrobic lepiej musisz porzadnie oszacowac logartm. Po pierwsze w gimnazjum nie wiesz co to jest logarytm. Po drugie zeby taki logarytm oszacowac MATEMATYCZNIE (nie strzelajac, czy sprawdzajac kolejne wartosci) musisz uzyc rozwiniecia/szeregu Taylora (ew. jakiejs innej skomplikowanej procedury ktorej nie znam). A tego nie wiesz nawet w liceum.

[Arepo]

Napisany przez pawelblu

Udowodnienia ze dalej jest dobrze -> funkcja/ciag jest ROSNACY.

No ale przecież wiemy z własności funkcji wykładniczej, że y=a^x to funkcja monotoniczna (rosnąca) w całym zbiorze liczb rzeczywistych, gdy a>1, więc nie ma po co to ponownie udowadniać.

Napisany przez pawelblu

Dla mnie jakosc rozwiazania jest ta sama.

Nie za bardzo, bo tutaj liczysz tylko punkty do wykresu (które nawet bez kalkulatora łatwo znaleźć), które pozwalają znaleźć graficzne rozwiązanie dla 2=(6/5)^n (punkt r), pomyśl ile byś się namęczył stosując metodę podstawiania ...


pozdrawiam